Dear linear algebra students, This is what matrices (and matrix manipulation) really look like
Dimension of matrix : number of rows(行) x number of columns(列)
( a 11 a 12 … a 1 n a 21 a 22 … a 2 n ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ a m 1 a m 2 … a m n ) \left(
\begin{array}{cccc}
a{11} & a{12} & \ldots & a{1n} \\
a{21} & a{22} & \ldots & a{2n} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
a{m1} & a{m2} & \ldots & a_{mn}
\end{array}
\right) ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎛ a 1 1 a 2 1 ⋮ a m 1 a 1 2 a 2 2 ⋮ a m 2 … … ⋱ … a 1 n a 2 n ⋮ a m n ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎞
a i j a_{ij} a i j i i i j j j
常用大写字母表示矩阵，小写表示向量
An n × 1 n \times 1 n × 1 ( x 1 x 2 ⋮ x n ) \left(
\begin{array}{c}
x_1 \\
x_2 \\
\vdots \\
x_n
\end{array}
\right) ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎛ x 1 x 2 ⋮ x n ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎞ a \textbf{a} a n n n n n n i i i i i i
縦ベクトルをスペースの関係で横に並べて表記する場合は後述する転置記号を用いて ( x 1 x 2 … x n ) T \left(
\begin{array}{cccc}
x_1 x_2 \ldots x_n
\end{array}
\right)^T ( x 1 x 2 … x n ) T
（縦）ベクトルの例:( 2 5 ) , ( 5 8 9 2 ) \left(
\begin{array}{ccc}
2 \\
5
\end{array}
\right),
\left(
\begin{array}{ccc}
5 \\
8 \\
9 \\
2
\end{array}
\right) ( 2 5 ) , ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎛ 5 8 9 2 ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ ⎞
この節では簡単のためにベクトルを横1列の行列の一種として扱います。
如果两个矩阵A = ( a i j ) A=(a_{ij}) A = ( a i j ) B = ( b i j ) B=(b_{ij}) B = ( b i j ) 同型矩阵 ），且各对应元素也相等，即a i j = b i j ( 1 = 1 , 2 , … , m ; j = 1 , 2 , … , n ) a_{ij}=b_{ij}
(1=1,2,…,m;j=1,2,…,n) a i j = b i j ( 1 = 1 , 2 , … , m ; j = 1 , 2 , … , n ) A A A B B B A = B A=B A = B ( 2 3 4 5 6 7 ) = ( 2 3 4 5 6 7 ) \left(
\begin{array}{ccc}
2 & 3 & 4\\
5 & 6 & 7
\end{array}
\right) =
\left(
\begin{array}{ccc}
2 & 3 & 4\\
5 & 6 & 7
\end{array}
\right) ( 2 5 3 6 4 7 ) = ( 2 5 3 6 4 7 ) ( 2 3 4 5 6 7 ) ≠ ( 1 3 4 5 6 7 ) \left(
\begin{array}{ccc}
2 & 3 & 4\\
5 & 6 & 7
\end{array}
\right) \ne
\left(
\begin{array}{ccc}
1 & 3 & 4\\
5 & 6 & 7
\end{array}
\right) ( 2 5 3 6 4 7 ) = ( 1 5 3 6 4 7 ) ( 2 3 4 5 6 7 ) ≠ ( 2 5 ) \left(
\begin{array}{ccc}
2 & 3 & 4\\
5 & 6 & 7
\end{array}
\right) \ne
\left(
\begin{array}{c}
2 \\
5
\end{array}
\right) ( 2 5 3 6 4 7 ) = ( 2 5 )
2つの行列の足し算・引き算は次元が同じときにのみ行うことができ、結果は対応する次元同士の足し算・引き算となります。
例:( 2 3 4 5 6 7 ) + ( 1 1 1 2 2 2 ) = ( 3 4 5 7 8 9 ) \left(
\begin{array}{ccc}
2 & 3 & 4\\
5 & 6 & 7
\end{array}
\right) +
\left(
\begin{array}{ccc}
1 & 1 & 1\\
2 & 2 & 2
\end{array}
\right) =
\left(
\begin{array}{ccc}
3 & 4 & 5\\
7 & 8 & 9
\end{array}
\right) ( 2 5 3 6 4 7 ) + ( 1 2 1 2 1 2 ) = ( 3 7 4 8 5 9 ) ( 2 3 4 5 6 7 ) + ( 1 1 2 2 ) \left(
\begin{array}{ccc}
2 & 3 & 4\\
5 & 6 & 7
\end{array}
\right) +
\left(
\begin{array}{cc}
1 & 1 \\
2 & 2
\end{array}
\right) ( 2 5 3 6 4 7 ) + ( 1 2 1 2 )
行列にスカラー値（いわゆる普通の一つの数）を掛けるときは、各成分にその値を掛けます
例:
2 ⋅ ( 2 3 4 5 6 7 ) = ( 4 6 8 10 12 14 ) 2\cdot \left(
\begin{array}{ccc}
2 & 3 & 4\\
5 & 6 & 7
\end{array}
\right) =
\left(
\begin{array}{ccc}
4 & 6 & 8\\
10 & 12 & 14
\end{array}
\right) 2 ⋅ ( 2 5 3 6 4 7 ) = ( 4 1 0 6 1 2 8 1 4 )
例:
( 2 3 4 5 6 7 ) ⋅ ( 1 2 3 4 5 6 ) = ( 2 ⋅ 1 + 3 ⋅ 3 + 4 ⋅ 5 2 ⋅ 2 + 3 ⋅ 4 + 4 ⋅ 6 5 ⋅ 1 + 6 ⋅ 3 + 7 ⋅ 5 5 ⋅ 2 + 6 ⋅ 4 + 7 ⋅ 6 ) = ( 31 40 58 76 )
\begin{aligned}
\left(
\begin{array}{ccc}
2 & 3 & 4\\
5 & 6 & 7
\end{array}
\right) \cdot
\left(
\begin{array}{cc}
1 & 2 \\
3 & 4 \\
5 & 6
\end{array}
\right) =
\left(
\begin{array}{cc}
2\cdot 1+3\cdot 3+4\cdot 5 & 2\cdot 2+3\cdot 4+4\cdot 6 \\
5\cdot 1+6\cdot 3+7\cdot 5 & 5\cdot 2+6\cdot 4+7\cdot 6
\end{array}
\right) \\
=\left(
\begin{array}{cc}
31 & 40 \\
58 & 76
\end{array}
\right)
\end{aligned}
( 2 5 3 6 4 7 ) ⋅ ⎝ ⎜ ⎛ 1 3 5 2 4 6 ⎠ ⎟ ⎞ = ( 2 ⋅ 1 + 3 ⋅ 3 + 4 ⋅ 5 5 ⋅ 1 + 6 ⋅ 3 + 7 ⋅ 5 2 ⋅ 2 + 3 ⋅ 4 + 4 ⋅ 6 5 ⋅ 2 + 6 ⋅ 4 + 7 ⋅ 6 ) = ( 3 1 5 8 4 0 7 6 )
prediction = Datamatrix x Parameters
Assiciative(结合律)，not commutative(in generral excpet one of them is identity matrix).
Identity Matrix
A m × n ⋅ I n × n = I m × m ⋅ A m × n = A m × n A_{m\times n}\cdot I_{n\times n}=I_{m\times m}\cdot A_{m\times n}=A_{m\times n} A m × n ⋅ I n × n = I m × m ⋅ A m × n = A m × n
行数と列数が同じ行列（正方行列）では繰り返し掛け算を行うことができ、Aをn n n A n A^n A n
行列の基本演算について、A + B = B + A A+B=B+A A + B = B + A A B = B A AB = BA A B = B A とは限らない ことに注意してください。そもそもA B AB A B B A BA B A
Only square matrix have an inverse .
A m × m ⋅ A m × m − 1 = A m × m − 1 ⋅ A m × m = I m × m A_{m\times m}\cdot A^{-1}_{m\times m}=A^{-1}_{m\times m}\cdot A_{m\times m}=I_{m\times m} A m × m ⋅ A m × m − 1 = A m × m − 1 ⋅ A m × m = I m × m
Matrix that don't have an inverse are "singular" or "degenerate".
行数と列数が同じ行列を正方行列 と言います。
正方行列のうち、対角成分（行数と列数が等しい第( i , i ) (i, i) ( i , i ) ( 1 0 … 0 0 1 … 0 ⋱ 0 0 … 1 ) \left(
\begin{array}{cccc}
1 & 0 & \ldots & 0 \\
0 & 1 & \ldots & 0 \\
& & \ddots & \\
0 & 0 & \ldots & 1
\end{array}
\right) ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎛ 1 0 0 0 1 0 … … ⋱ … 0 0 1 ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ ⎞
のような行列を単位行列 と言います。単位行列は記号E E E
正方行列A A A A A A E E E A − 1 A^{-1} A − 1 A A − 1 = A − 1 A = E AA^{-1}=A^{-1}A=E A A − 1 = A − 1 A = E
行列A A A A T A^T A T ( a 11 a 12 … a 1 n a 21 a 22 … a 2 n ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ a m 1 a m 2 … a m n ) T = ( a 11 a 21 … a m 1 a 1 n a 22 … a m 2 ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ a 1 n a 2 n … a m n ) \left(
\begin{array}{cccc}
a{11} & a{12} & \ldots & a{1n} \\
a{21} & a{22} & \ldots & a{2n} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
a{m1} & a{m2} & \ldots & a{mn}
\end{array}
\right)^T =
\left(
\begin{array}{cccc}
a{11} & a{21} & \ldots & a{m1} \\
a{1n} & a{22} & \ldots & a{m2} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
a{1n} & a{2n} & \ldots & a{mn}
\end{array}
\right)
⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎛ a 1 1 a 2 1 ⋮ a m 1 a 1 2 a 2 2 ⋮ a m 2 … … ⋱ … a 1 n a 2 n ⋮ a m n ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎞ T = ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎛ a 1 1 a 1 n ⋮ a 1 n a 2 1 a 2 2 ⋮ a 2 n … … ⋱ … a m 1 a m 2 ⋮ a m n ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎞
首先，看这个矩阵是不是方阵（即行数和列数相等的矩阵。若行数和列数不相等，那就谈不上奇异矩阵和非奇异矩阵）。 然后，再看此矩阵的行列式∣ A ∣ |A| ∣ A ∣ A A A A A A ∣ A ∣ ≠ 0 |A|\neq 0 ∣ A ∣ = 0 可逆矩阵就是非奇异矩阵，非奇异矩阵也是可逆矩阵 。
如果A为奇异矩阵，则A X = 0 AX=0 A X = 0 A X = b AX=b A X = b A X = 0 AX=0 A X = 0 A X = b AX=b A X = b
埃尔米特矩阵（英语：Hermitian matrix，又译作厄米矩阵），也称自伴随矩阵，是共轭对称的方阵。埃尔米特矩阵中每一个第i行第j列的元素都与第j行第i列的元素的共轭相等。
实对称矩阵是埃尔米特矩阵的特例。
一个n × n n\times n n × n M M M z z z z T M z > 0 z^TMz > 0 z T M z > 0 z T z^T z T z z z
2つのn次元実ベクトル a \textbf{a} a b \textbf{b} b a ⋅ b \textbf{a}\cdot \textbf{b} a ⋅ b a ⋅ b = a 1 b 1 + a 2 b 2 + … + a n + b n \textbf{a} \cdot \textbf{b} = a_1b_1 + a_2b_2 + \ldots + a_n+b_n
a ⋅ b = a 1 b 1 + a 2 b 2 + … + a n + b n
と表されます。
n次元実ベクトル a \textbf{a} a ∣ ∣ a ∣ ∣ = ∑ i = 1 n a i 2 ||\textbf{a} || = \sqrt{\sum_{i=1}^n a_i^2} ∣ ∣ a ∣ ∣ = ∑ i = 1 n a i 2
正方行列A A A A x = α x A \textbf{x} = \alpha \textbf{x} A x = α x α \alpha α A A A x \textbf{x} x A A A α \alpha α 非奇异矩阵 如果有两个相异的特征值，就有两个线性无关的特征向量。在这种情况下，对于特征向量，线性变换仅仅改变它们的长度，而不改变它们的方向（除了反转以外），而对于其它向量，长度和方向都可能被矩阵所改变。如果特征值的模大于1，特征向量的长度将被拉伸，而如果特征值的模小于1，特征向量的长度就将被压缩。如果特征值小于0，特征向量将会被翻转。