1. 函数

関数とは

2つの変数$x$と$y$について、$x$の値を与えたときに$y$の値を1つに定める規則があるとき、「$y$は$x$の関数である」と言います。規則に$f(x)$ という名前をつけて$y=f(x)$ のように書くことが多いです。

変数同士の対応関係を分かりやすくみせるためにグラフで表すことがあります。$y=f(x)$ の場合であれば、慣習的に$x$を横軸、$y$を縦軸に取ります。

$(x)=x^2$の場合のグラフ

$f(x)=x^3+x$の場合のグラフ

指数関数

$a$を$n$回掛けた数字を$a^n$と書きます。このとき指数法則と呼ばれる次のような法則が成り立ちます。

• $a^m a^n = a^{m+n}$
• $(a^m)^n = a^{mn}$
• $(ab)^n = a^n b^n$

この性質を満たしながら$a^n$の$n$が自然数以外であっても計算できるように拡張した関数を指数関数と呼びます。 たとえば分数に対しては「$a^{\frac{2}{3}}$ は $(a^{\frac{2}{3}})^3 = a^2$ を満たすから3乗すると$a^2$となる数である」のように定義します。ゼロや負の数に対しても

• $a^0 = 1$ (ただし$a \neq 0$)
• $a^{-x} = \frac{1}{a^x}$

のようにして値が定義されます。有理数で表せない $\sqrt{2}$ などの実数に対しても適用できる冪級数を用いた定義がありますがここでは説明しません。

対数関数

$a > 0$かつ$a \neq 1$で$x = a^p$が成り立つとき、$a^p$が特定の$x$になるような$p$の可能性は1つしかないので、決める順番を逆にして$p$は$x$の関数であると考えることができます。この関数を$a$を底（てい）とする対数関数とよび、$x = a^p$のとき$p = \log_a x$と書きます。

対数関数には次のような性質があります。

• $a^{\log_a x} = x$
• $\log_a xy = \log_a x + \log_a y$
• $\log_a x^p = p \log_a x$
• $\log_a 1 = 0$
• $a > 1$のとき$x < y \Longleftrightarrow \log_a x < \log_a y$
• $a < 1$のとき$x < y \Longleftrightarrow \log_a x > \log_a y$

こんな関数が何の役に立つのか最初は分からないと思いますが、上の性質を利用することで掛け算を足し算に・指数を掛け算に書き換えることができるので複雑な計算を少し簡単にできるというところにすごさがあります。

线性函数

在高等数学里，线性函数是一个线性映射，是在两个向量空间之间，维持向量加法与标量乘法的映射。

$\begin{aligned} f( a + b )= f(a) + f(b) \\ f(k a) = k f(a) \end{aligned}$ 例如，假若，我们用坐标向量 (coordinate vector) 来表示$x$ 与 $f(x)$ 。那么，线性函数可以表达为 $f(x) = \mathrm{M}x$ 其中$\mathrm{M}$是矩阵。