1. 矩阵

行列式

0.4.1 行列の定義

Dimension of matrix : number of rows(行) x number of columns(列)

: 第行,第

常用大写字母表示矩阵,小写表示向量

0.4.2 向量の定義

An matrix
のようものをベクトルといいます。ベクトルを文字で表す時は のようにアルファベット小文字の太字で表すことが多いです。
また、単にベクトルと言ったときはたいてい数字を縦に並べた縦ベクトルを指します。個の数を並べて作ったベクトルを次元縦ベクトルと呼び、上から番目の数を「第成分」と呼びます。

縦ベクトルをスペースの関係で横に並べて表記する場合は後述する転置記号を用いて のように書くこともあります。

(縦)ベクトルの例:

0.4.3 基本演算

この節では簡単のためにベクトルを横1列の行列の一種として扱います。

如果两个矩阵,就称相等,记作.
例:


2つの行列の足し算・引き算は次元が同じときにのみ行うことができ、結果は対応する次元同士の足し算・引き算となります。

例:

次の計算は次元が違うため実行できません。

行列にスカラー値(いわゆる普通の一つの数)を掛けるときは、各成分にその値を掛けます

例:

例:

prediction = Datamatrix x Parameters

Assiciative(结合律),not commutative(in generral excpet one of them is identity matrix).

Identity Matrix

nA^nA+B=B+AAB = BAABBAA{m\times m}\cdot A^{-1}{m\times m}=A^{-1}{m\times m}\cdot A{m\times m}=I_{m\times m}(i, i) \left( \begin{array}{cccc} 1 & 0 & \ldots & 0 \ 0 & 1 & \ldots & 0 \ & & \ddots & \ 0 & 0 & \ldots & 1 \end{array} \right)EAAEA^{-1} AA^{-1}=A^{-1}A=E AA^T\left( \begin{array}{cccc} a{11} & a{12} & \ldots & a{1n} \ a{21} & a{22} & \ldots & a{2n} \ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \ a{m1} & a{m2} & \ldots & a{mn} \end{array} \right)^T = \left( \begin{array}{cccc} a{11} & a{21} & \ldots & a{m1} \ a{1n} & a{22} & \ldots & a{m2} \ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \ a{1n} & a{2n} & \ldots & a{mn} \end{array} \right)

奇异矩阵

首先,看这个矩阵是不是方阵(即行数和列数相等的矩阵。若行数和列数不相等,那就谈不上奇异矩阵和非奇异矩阵)。 然后,再看此矩阵的行列式是否等于0,若等于0,称矩阵为奇异矩阵;若不等于0,称矩阵 为非奇异矩阵。 同时,由可知矩阵A可逆,这样可以得出另外一个重要结论:可逆矩阵就是非奇异矩阵,非奇异矩阵也是可逆矩阵。  如果A为奇异矩阵,则有无穷解,有无穷解或者无解。如果A为非奇异矩阵,则有且只有唯一零解,有唯一解。

正定矩阵

埃尔米特矩阵(英语:Hermitian matrix,又译作厄米矩阵),也称自伴随矩阵,是共轭对称的方阵。埃尔米特矩阵中每一个第i行第j列的元素都与第j行第i列的元素的共轭相等。 实对称矩阵是埃尔米特矩阵的特例。

一个的实对称矩阵是正定的,当且仅当对于所有的非零实系数向量,都有。其中表示的转置。

0.4.5 ベクトルの内積とノルム

2つのn次元実ベクトル について内積 という値が定義されています。

と表されます。

n次元実ベクトル について、ノルムという値が定義されています。

0.4.6 特征值

正方行列について、

が成り立つとき、の固有値、に関する固有ベクトルと呼びます。
一般来说,2×2的非奇异矩阵如果有两个相异的特征值,就有两个线性无关的特征向量。在这种情况下,对于特征向量,线性变换仅仅改变它们的长度,而不改变它们的方向(除了反转以外),而对于其它向量,长度和方向都可能被矩阵所改变。如果特征值的模大于1,特征向量的长度将被拉伸,而如果特征值的模小于1,特征向量的长度就将被压缩。如果特征值小于0,特征向量将会被翻转。

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