1. 函数

0.1.1 関数とは

2つの変数について、の値を与えたときにの値を1つに定める規則があるとき、「の関数である」と言います。規則に という名前をつけて のように書くことが多いです。

変数同士の対応関係を分かりやすくみせるためにグラフで表すことがあります。 の場合であれば、慣習的にを横軸、を縦軸に取ります。

の場合のグラフ

の場合のグラフ

0.1.2 指数関数

回掛けた数字をと書きます。このとき指数法則と呼ばれる次のような法則が成り立ちます。

この性質を満たしながらが自然数以外であっても計算できるように拡張した関数を指数関数と呼びます。 たとえば分数に対しては「 を満たすから3乗するととなる数である」のように定義します。ゼロや負の数に対しても

  • (ただし)

のようにして値が定義されます。有理数で表せない などの実数に対しても適用できる冪級数を用いた定義がありますがここでは説明しません。

0.1.3 対数関数

かつが成り立つとき、が特定のになるようなの可能性は1つしかないので、決める順番を逆にしての関数であると考えることができます。この関数をを底(てい)とする対数関数とよび、のときと書きます。

対数関数には次のような性質があります。

  • のとき
  • x < y \Longleftrightarrow \log_a x > \log_a y f( a + b )= f(a) + f(b) \ f(k a) = k f(a) xf(x) f(x) = \mathrm{M}x \mathrm{M}$$是矩阵。

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